integral nasıl alınır ne demek?

İntegral alma, matematiksel bir işlemdir ve bir fonksiyonun altında kalan alanı bulmaya yarar. Temelde, türevin ters işlemidir. İki ana integral türü vardır: Belirsiz integral ve Belirli integral.

1. Belirsiz İntegral:

Bir fonksiyonun belirsiz integrali, o fonksiyonun tüm anti-türevlerini (ters türevlerini) ifade eder. Bu, bir fonksiyonun türevi alındığında orijinal fonksiyonu veren tüm fonksiyonların genel formülünü bulmak anlamına gelir. Belirsiz integralin sonucu her zaman "+ C" sabiti ile birlikte gelir, çünkü bir sabitin türevi sıfırdır ve integral alırken bu sabit kaybolur.

• Formül: ∫f(x) dx = F(x) + C

  • Burada:
    • ∫ sembolü integral işaretidir.
    • f(x) integralini aldığımız fonksiyondur.
    • dx, x'e göre integral alındığını gösterir.
    • F(x), f(x)'in bir anti-türevidir.
    • C, integral sabiti'dir.

• Önemli Kurallar:

  • Üs Kuralı: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
  • Sabit Çarpan Kuralı: ∫k * f(x) dx = k ∫f(x) dx (k bir sabittir)
  • Toplam/Fark Kuralı: ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
  • Trigonometrik İntegraller: Örneğin, ∫sin(x) dx = -cos(x) + C ve ∫cos(x) dx = sin(x) + C

2. Belirli İntegral:

Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki (a'dan b'ye) alanını hesaplar. Belirsiz integralden farklı olarak, belirli integralin sonucu bir sayıdır (alan değeri).

• Formül: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

  • Burada:
    • a ve b, integralin alt ve üst sınırlarıdır.
    • F(x), f(x)'in bir anti-türevidir (belirsiz integralinden bulunur).

• Hesaplama Adımları:

  1. f(x)'in belirsiz integralini bulun: F(x) + C
  2. F(b)'yi (üst sınırı anti-türevde yerine koyarak) ve F(a)'yı (alt sınırı anti-türevde yerine koyarak) hesaplayın.
  3. F(b) - F(a) işlemini yapın. C sabiti bu çıkarma işleminde sadeleşecektir.

• Özellikler:

  • ∫ₐᵃ f(x) dx = 0 (Aynı sınırlarda integral sıfırdır).
  • ∫ₐᵇ f(x) dx = -∫ᵇₐ f(x) dx (Sınırların yerini değiştirmek integralin işaretini değiştirir).
  • ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx (Aralığı bölme).

İntegral Alma Teknikleri:

Temel integral alma kurallarının yanı sıra, daha karmaşık fonksiyonların integrallerini almak için çeşitli teknikler kullanılır. En yaygın tekniklerden bazıları şunlardır:

• Değişken Değiştirme (Substitution): Fonksiyonun bir kısmını yeni bir değişkenle değiştirerek integrali basitleştirme.
• Kısmi İntegrasyon (Integration by Parts): İki fonksiyonun çarpımı şeklindeki integralleri çözmek için kullanılır: ∫u dv = uv - ∫v du
• Trigonometrik Yerine Koyma (Trigonometric Substitution): Kök içeren bazı integralleri trigonometrik fonksiyonlarla ifade ederek çözme.
• Kısmi Kesirlere Ayırma (Partial Fraction Decomposition): Rasyonel fonksiyonları daha basit kesirlere ayırarak integral almayı kolaylaştırma.

Bu bilgiler, integral alma konusunda temel bir anlayış sağlamaktadır. Daha derinlemesine bilgi edinmek için matematik ders kitaplarına ve çevrimiçi kaynaklara başvurabilirsiniz.